☛ Loi des sinus

Soit \(\text{ABC}\) un triangle.
On note \(\alpha =\widehat{\text{BAC}}, \ \beta=\widehat{\text{ABC}},\) et \(\gamma = \widehat{\text{BCA}}\).

On admet que l'aire \(\mathcal{A}\) du triangle \(\text{ABC}\) est donnée par \(\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\text{AB}\times \text{AC}\times \sin (\alpha)\).

1. Exprimer l'aire \(\mathcal{A}\) à l'aide de \(\sin (\beta)\), puis à l'aide de \(\sin (\gamma)\).

2. Démontrer que l'on a : \(\dfrac{\text{BC}}{\sin (\alpha)} = \dfrac{\text{AC}}{\sin (\beta)} = \dfrac{\text{AB}}{\sin (\gamma)}\).